V předchozích dílech jsme na několika příkladech viděli, že zatímco v hyperbolické geometrii jsou úhly v trojúhelníku trochu podvyživené, ve sférické geometrii jsou naopak „nadvyživené“. Dnes se tomuto fenoménu podíváme na zoubky.
V eukleidovské geometrii panuje krutopřísný režim. Disciplinované trojúhelníky mají na úhlech přesně 180°, ať jsou velké nebo malé, tlusté nebo hubené, ostroúhlé nebo tupoúhlé. Tomu říkám slušně vychované polygóny, pane vašnosto.
Jakmile ale trojúhelníky vypustíte na křivočarou pastvinu, začnou s nimi šít čerti. Vyškrábou se na sféru a součet úhlů se jim rázem zvětší nad 180°, protože strany trojúhelníka budou trochu „vypouklé“. Vyhoupnou se do hyperbolického sedla a součet úhlů bude najednou menší než 180° a limitně se bude blížit 0°, pokud se všechny tři vrcholy trojúhelníku nastěhují k hranici (tj. k ose x v modelu poloroviny a k jednotkové kružnici v kruhovém modelu).
Na první pohled by se mohlo zdát, že v rámci takto vymezených mantinelů si trojúhelníky mohou dělat víceméně, co se jim zlíbí, ale není tomu tak. O jejich výchovu se stará jedna klasická věta z diferenciální geometrie.
Nejprve si ale zadefinujeme kvantitu, která nám prozradí, jak moc je daný trojúhelník nezbedný – tedy o kolik se součet jeho vnitřních úhlů liší od 180°. Ten úhlový přebytek (ve sférickém případě), respektive nedostatek (v případě hyperbolickém) se nazývá úhlový defekt a řídí se velmi přesnými zákony.
Označíme-li si součet vnitřních úhlů písmenkem Σ = α + β + γ, pak úhlový defekt Δ definujeme jako
Δ = Σ - 180° (respektive Δ = Σ - π měříme-li úhly v radiánech)
Velikost úhlového defektu závisí na geometrii variety, ve které se trojúhelník nalézá, a spočítá se z tzv. Gauss-Bonnetovy věty, která se obecně zabývá vztahem mezi křivostí plochy a její topologií. Pro naši potřebu ale bude stačit speciální případ. Zhruba řečeno platí, že defekt je roven akumulované hodnotě křivosti K uvnitř trojúhelníku T a tu vyjádříme spojitým součtem, tedy integrálem přes T:
Δ = ∫K
Pokud je křivost plochy K = k konstantní, pak se formulka zjednodušší – křivost vytkneme a zůstane nám tam integrál z jedničky, což je velikost množiny, přes kterou integrujeme, takže akumulovaná křivost bude k krát plocha P daného trojúhelníku:
Δ = k.P
Konkrétně pro eukleidovskou geometrii je křivost k = 0, takže defekt je 0 a všechny trojúhelníky mají očekávaných 180° (přestože pro názornost používám stupně, ve formulkách pro defekt je nutno měřit úhly v radiánech).
Ve sférické geometrii je křivost kladná a při vhodné volbě jednotek je k = 1, takže úhlový defekt (zde přebytek) bude přesně roven ploše trojúhelníku. To mimochodem znamená, že velmi malé trojúhelníky budou mít malý defekt a budou se chovat podobně jako trojúhelníky eukleidovské, což odpovídá intuitivní představě, že velmi malý trojúhelníček nemá dostatek prostoru, aby se mohl zakřivit (z jeho pohledu je sféra příliš velká) a chová se tedy lokálně stejně jako v eukleidovské rovině (trojúhelník narýsovaný v Polabí prakticky nerozeznáte od jeho eukleidovského protějšku, přestože leží na sféře).
V hyperbolické geometrii je situace analogická s opačným znaménkem. Gaussova křivost je záporná a ve vhodně vybraných jednotkách bude k = -1, takže úhlový defekt bude minus plocha trojúhelníku. O tuto hodnotu bude součet úhlů „pod míru“. A ze stejného důvodu bude pro malé trojúhelníky situace téměř eukleidovská, tj. trojúhelníky budou mít jen nepatrně pod 180°.
V první sekci se dnes podíváme podrobněji na sférický případ. Ve druhé na hyperbolický a ve třetí na jednu praktickou aplikaci.
Defekt sférických trojúhelníků
Rychloopáčko: roli přímek hrají na sféře tzv. velké kružnice, což jsou průsečíky sféry a libovolné roviny procházející počátkem. To jsou křivky, podél kterých létají letadla.
Abychom do sférické geometrie vpluli pomalu, podíváme se opět nejprve na speciální případ, kdy bude trojúhelník tvořen rovníkem a dvěma poledníky. Oba úhly na rovníku jsou pravé (tedy 90°), zatímco úhel α na pólu může mít libovolnou hodnotu (obrázek vpravo).
Pokud je úhel α malý, tj. poledníky běží těsně vedle sebe, bude součet úhlů jen o něco vyšší než 180°. Jak ale začneme obě poledníková ramena b a c rozšiřovat, úhel α se bude zvětšovat a v principu ho můžeme dotáhnout až do hodnoty α = 360°, pokud ramena „odstrčíme“ až na druhou stranu – a v tomto případě se součet úhlů Σ bude blížit až k hodnotě 540° (defekt pak bude Δ = 360°).
Zdaleka ne každá velká kružnice je ale rovníkem nebo poledníkem. Proto si pro výpočet defektu musíme nabrnkat obecný trojúhelník a provést všechny úvahy v něm (další obrázek). Vezmeme si tedy trojúhelník T na jednotkové sféře omezený třemi obecnými, libovolně zvolenými velkými kružnicemi – modrou, červenou a zelenou.
Tyto tři velké kružnice (geodetiky) rozbijí sféru na 8 malých trojúhelníkových území. Jednak trojúhelník T (s vnitřními úhly α, β a γ), pak tři přilehlé oblasti Tα, Tβ a Tγ, omezené každým ze tří možných párů velkých kružnic a konečně symetrické protějšky těchto území. Na „odvrácené“ straně sféry se nalézá trojúhelník T' (tvořený protilehlými body trojúhelníku T) a pak tři symetrické oblasti T'α, T'β a T'γ (jejichž „ocásky“ lze vidět na obrázku). Pokud vám to rozdělení „neštymuje“, tak si ty tři kružnice nakreslete na tenisák a uvidíte to v cuku letu.
Základem výpočtu je skutečnost, že trojúhelník T a jedna každá z těch přilehlých oblastí, řekněme Tα, tvoří zvláštní množinu, které se říká sférická luna. Dvě velké kružnice se protínají ve dvou protilehlých bodech, které si můžeme představit jako severní a jižní pól. Klasickými lunami jsou pak oblasti mezi poledníky od severního k jižnímu pólu (mimochodem, existují machři, kteří dokáží oloupat pomeranč na luny).
Některé luny jsou užší a některé širší, podle úhlu sevřeného na severním a jižním pólu. Plocha každé luny je tomuto úhlu úměrná. Je-li tedy úhel dané luny δ (v radiánech!), bude její plocha rovna ploše celé sféry (což je 4π r2) krát konstanta úměrnosti (což je poměr mezi úhlem luny a plným úhlem, tedy δ/2π), takže nám pro plochu vyjde P(luna) = 2δr2. A protože budeme pracovat s jednotkovou sférou (r = 1), plocha luny odpovídající úhlu δ bude P = 2δ.
No a začneme počítat.
Celková plocha jednotkové sféry je P = 4π.
Trojúhelníky T, Tα, Tβ a Tγ zaberou přesně polovinu sféry, protože jsou stejně velké jako jejich symetrické protějšky T', T'α, T'β a T'γ a všechny dohromady zaplní celou sféru. Takže
P(T) + P(Tα) + P(Tβ) + P(Tγ) = 2π
Současně ale dostaneme rovnice pro tři luny vytvořené tak, že k trojúhelníku T přidáme postupně tři přilehlé trojúhelníky Tα, Tβ a Tγ. A plochu lun spočítáme z jejich úhlů.
P(T) + P(Tα) = 2α
P(T) + P(Tβ) = 2β
P(T) + P(Tγ) = 2γ
Sečtením těchto rovnic dostaneme
3P(T) + P(Tα) + P(Tβ) + P(Tγ) = 2(α + β + γ)
a odečteme-li předchozí rovnici od této, dostaneme
2P(T) = 2(α + β + γ - π)
a po vydělení 2 dostaneme přesně vzoreček, který jsme chtěli: plocha trojúhelníku se rovná úhlovému defektu.
A ani jsme nepotřebovali žádný sofistikovaný aparát.
Defekt hyperbolických trojúhelníků
Rychloopáčko: v Poincarého modelu bude naším hyperbolickým pískovištěm horní polorovina (x > 0), ve které roli přímek převezmou kružnice kolmé na osu x (včetně svislých přímek, na které pohlížíme jako na kružnice s nekonečným poloměrem).
V hyperbolickém případě si na výpočet plochy trojúhelníku a úhlového defektu budeme muset přizvat integrální počet. Ale není důvod panikařit. Integrál není nic jiného než spojitý součet, takže do sebe kopněte panáka a jdeme na věc.
Nejprve se podíváme na velice speciální typ trojúhelníku, který má jeden z vrcholů v nekonečnu (tedy vysoko převysoko nad osou x). Bude to trojúhelník na obrázku vpravo omezený modrou, červenou a zelenou hyperbolickou přímkou. Ta zelená bude pro jednoduchost jednotková kružnice (pro obecnou kružnici se výpočet provede analogicky, jen bude trochu techničtější).
Jeden z jeho úhlů (ten v nekonečnu) je nula, protože dvě z jeho hraničních přímek (modrá a červená) jsou rovnoběžné. Zbývající dva úhly si označíme α a β. Díky tomu, že poloměr kružnice je kolmý na její tečnu, dostaneme stejné úhly ještě v počátku a z nich si lehce spočítáme (zelená kružnice je jednotková) polohu červené a modré přímky.
Plochu trojúhelníku T spočítáme tím nejdrsnějším možným způsobem. Pokryjeme ho malými infinitesimálními (fialovými) čtverečky o stranách dx a dy, spočítáme jejich plošky a nakonec je všechny posčítáme. Protože čtverečky jsou ale nekonečně malé, budeme to muset udělat ne součtem, ale integrálem.
Nejprve si připomeneme, že v Poincarého polorovině se měří infinitesimální rozměry tak, že běžné eukleidovské rozměry se vydělí y souřadnicí místa, kde měření provádíme. A to platí jak pro šířku dx, tak pro výšku dy. Zatímco v eukleidovské geometrii by měl jeden fialový infinitesimální čtvereček obsah dx * dy, v hyperbolické bude mít obsah
(dx/y) * (dy/y) = dx * dy/y2
A můžeme začít sčítat (ten integrální klikyhák si klidně představte jako sčítací symbol)
P = ∫∫dx * dy/y2
(sčítací symboly tu jsou dva, protože musíme sečíst přes y a pak přes
x)
P = ∫ (∫dy/y2) dx
Integrál v závorce (pro pevně zvolené x) v podstatě sčítá čtverečky podél svislé fialové čáry tímto x určené. Výsledek tohoto vnitřního součtu bude samozřejmě na x záviset, a proto nakonec musíme ještě provést vnější součet, kde „svislé“ mezisoučty posčítáme přes x.
Každý z integrálů má určité meze, které integrálnímu počtu říkají, odkud kam chceme daný výraz sčítat (integrovat). V našem případě bude vnitřní součet (integrál) sčítat od hodnoty y = sqrt(1 - x2), což je bod jednotkové kružnice určený danou hodnotou x, až nahoru do nekonečna y = ∞. Vnější součet pak všechny dílčí mezisoučty posčítá od červené přímky až po modrou. Tedy od hodnoty x = cos(π - β) až do x = cos(α).
A jak to vyčíslit? Vnitřní integrál je celkem jednoduchá funkce jedné proměnné, jejíž integrál si lehce najdeme v tabulkách
∫dy/y2 = -1/y
a musíme do něho dosadit obě meze a odečíst. Hodnota funkce vpravo je pro y = ∞ rovna 0, takže z vnitřního integrálu nám zůstane pouze první hodnota y: 1/sqrt(1 - x2). A protože ji odečítáme, minusko z předchozí formulky se vyruší. A teď se soustředíme na vnější integrál.
P = ∫ (1/sqrt(1 - x2)) dx
Protože výraz v závorce je derivace funkce arcsin(x), respektive -arccos(x), i tento integrál se vyčíslí celkem lehce (nebo si ho najdete v tabulkách) jako
P = [-arccos(x)]
kde hranatá závorka značí, že do funkce uvnitř musíme dosadit obě hraniční hodnoty a odečíst (při tom nám ten arccos sežere oba kosiny, takže dostaneme pouze čisté úhly)
(+) P = -arccos(cos(α)) - (-arccos(cos(π - β)) = (π - β) - α = π - α - β
A je to. Náš speciální trojúhelník (s jedním vrcholem v nekonečnu) má plochu π - α - β.
Dál už to bude procházka růžovým sadem. Obecný trojúhelník T (obrázek nahoře) nejprve natočíme tak, aby jedna jeho strana byla svislá. To by se v eukleidovském případě hravě provedlo tak, že bychom trojúhelník prostě pootočili vhodně zvolenou rotací. V hyperbolickém případě je nutno místo rotace použít jednu z Möbiových transformací, které jsme probírali minule, ale výsledek je stejný. Dostaneme kongruentní trojúhelník (se stejnými stranami a úhly), jehož jedna strana bude svislá (obrázek dole).
A protože jsme se právě s jazykem na vestě naučili počítat plochy trojúhelníků, jejichž dvě strany jsou svislé, narýsujeme si v průsečíku modré a zelené hyperbolické přímky ještě šedou svislou přímku, která nám umožní dvojitou aplikaci předchozí habaďůry.
Na spodním obrázku máme de facto dva „speciální“ trojúhelníky. Jeden ohraničený červenou, modrou a šedou „přímkou“ (označme ho T'), a druhý ohraničený červenou, zelenou a šedou (T + T'). Sice se nám tam nasáčkoval jeden úhel navíc (δ), ale to nevadí. Plochu obou lehce vyčíslíme z té „speciální“ formulky (+) a odečtením získáme hledanou plochu T.
P(T) = P(T + T') - P(T') = (π - β - α - δ) - (π - (π - γ) - δ) = π - (α + β + γ)
A máme hyperbolický případ pod střechou:
plocha trojúhelníku se rovná úhlovému defektu (s opačným znaménkem).
Když si hyperbolický vzoreček porovnáte se sférickým případem, musíte ocenit jemnou harmonii, která v diferenciální geometrii vládne. Sférická a hyperbolická geometrie jsou určitými protipóly, zatímco ta eukleidovská je úzkým spojovacím můstkem mezi nimi.
V podstatě jsme zjistili, že neeukleidovské trojúhelníky jsou v jistém smyslu ještě vychovanější než ty eukleidovské. Pro ně lze totiž plochu spočítat z úhlového defektu – v kladném či záporném smyslu. Pro eukleidovské trojúhelníky to neplatí ani náhodou (to by musely mít všechny nulovou plochu). Ty si žijí ve svém vlastním světě.
Příklady
Abychom si vzorečky mohli trochu osahat, spočítáme si úhlový defekt sférického trojúhelníku Praha–Liberec–Hradec Králové. Samozřejmě za zjednodušujícího předpokladu, že Země je perfektní sféra s poloměrem 6 371 km.
Nejprve si najdeme zeměpisné souřadnice (šířka a délka):
Praha (50.083333, 14.416667)
Liberec (50.766667, 15.066667)
Hradec (50.209167, 15.832222)
a z nich si spočítáme středové úhly v radiánech (a pro kontrolu i vzdušné vzdálenosti)
Praha–Liberec 0.0139454 (88.8459 km)
Praha–Hradec 0.0159838 (101.833 km)
Liberec–Hradec 0.0129206 (82.3172 km)
defekt pak dostaneme pomocí L'Huilierovy věty
tan2(Δ/4) = tan(1⁄2s) * tan(1⁄2(s-a)) * tan(1⁄2(s-b)) * tan(1⁄2(s-c))
kde a, b, c jsou strany trojúhelníku vyjádřené pomocí středových úhlů a s = (a + b + c)/2.
Po vyčíslení dostaneme na pravé straně
tan2(Δ/4) = 4.63465 * E-10
a po odmocnění
tan(Δ/4) = .0000215282
arctan už s takhle malou hodnotou moc nehne, takže dostaneme
Δ = 0.0000861129 (v radiánech)
Δ = 0.00493391 (ve stupních)
Úhlový defekt je tedy prakticky zanedbatelný (protože vzhledem k zeměkouli je vyšetřovaný trojúhelník docela maličký a chová se téměř eukleidovsky), ale pro větší trojúhelníky už by se s ním reálně muselo počítat.
Plošníci žijící na perfektně hladké sféře (vyrobené ze slitiny platiny a iridia) by ale zjistili další odchylky od eukleidovské geometrie.
Ze školy si například pamatujeme, že poměr obvodu kružnice k průměru je π = 3.141592...
Plošníci by ale zjistili, že tento poměr je nejen jiný, ale že se dokonce mění s průměrem.
Podívejme se nejprve, jak si plošníci poradí s kružnicí (obr. vpravo). Na sféře s poloměrem R si zvolí nějaký bod, řekněme severní pól N, a pak od něho po nějaké přímce (geodetice) popolezou o vzdálenost r a tam si udělají do slitiny platiny a iridia zářez ve tvaru x. A ze všech těch zářezů nakonec vznikne zelená kružnice – tedy množina bodů, které mají od bodu N konstantní vzdálenost r.
Podívejme se, jaký poměr plošníci naměří.
Jejich poloměr r je de facto kruhový oblouk odpovídající středovému úhlu δ. Vzhledem k němu můžeme poloměr jejich kružnice r vyjádřit pomocí poloměru sféry R: r = R δ.
Zelená kružnice je ale kružnicí i pro nás. Z našeho pohledu má ovšem jiný poloměr. Získáme ji tak, že sféru protneme rovinou p, ve které tato kružnice leží. V této rovině bude mít zelená kružnice běžný eukleidovský poloměr r' (viz obrázek vpravo), který se dá také vyjádřit pomocí středového úhlu: r' = R sin(δ)
Obvod zelené kružnice je stejný pro nás i pro plošníky a v rovině p ho dostaneme z běžné geometrie: o = 2π r' = 2π R sin(δ)
Poměr obvodu kružnice a průměru bude tedy pro plošníky
o/2r = 2π R sin(δ) / (2 R δ) = π sin(δ) / δ
Výraz sin(δ) / δ je menší než 1, takže plošníci naměří o něco méně než π. Současně se ale tento výraz limitně blíží 1 pro malé hodnoty δ a to znamená, že lokálně – pro malé zelené kružnice kolem pólu – naměří plošníci opět prakticky eukleidovské hodnoty.
A ještě jednu maličkost, která není na první pohled patrná.
Jedním z nejsilnějších nástrojů eukleidovské geometrie jsou podobné trojúhelníky, které mají stejné úhly, ale jejich strany jsou zmenšeny či zvětšeny v určitém poměru. Celá řada geometrických problémů se o tento pojem opírá, stejně jako středoškolská definice goniometrických funkcí.
Zajímavé je, že tato pozoruhodná geometrická květina vykvetla pouze v eukleidovské zahrádce. Ve sférické ani v hyperbolické geometrii nic takového neexistuje a kdybyste se na ni poptali v plošnické škole, odpovědí vám budou zmatené pohledy nechápavých 2D kukadel.
Ve sférické a hyperbolické geometrii se ze součtu úhlů dá odvodit plocha trojúhelníku a tím pádem také velikost jeho stran (poměřované příslušnou metrikou). To znamená, že v těchto geometriích existují pouze shodné (kongruentní) trojúhelníky, ale podobnosti tam pšenka nekvete.
Pokud v eukleidovské geometrii zvětšíte všechny strany v poměru, řekněme, a:1, pak se plocha trojúhelníku zvětší v poměru a2:1. A ničemu to nevadí: mezi plochou a součtem úhlů není žádná souvislost. Trojúhelník s danými úhly můžete libovolně zvětšovat anebo zmenšovat. V neeukleidovských geometriích s ním můžete maximálně tak šibovat po ploše, ale jakmile ho trochu zvětšíte, okamžitě se zvětší i součet úhlů a už to nebude podobný útvar. Podobnost je výsadou eukleidovské geometrie.
Článek je redakčně upravenou verzí blogového příspěvku na serveru iDNES.cz. Publikováno s laskavým svolením autora. Další díly a původní texty jsou dostupné na blogu Jana Řeháčka.
