Pythagorova věta patří k základním kamenům středoškolských osnov. Dnes ovšem zjistíme, že má v každé geometrii svou specifickou podobu, takže to vlastně není věta, ale souvětí. Asi souřadné, neb souřadnicemi se to v něm jen hemží.
I plošníci žijící na zakřivených plochách si mohou nasliněnou inkoustovou tužkou nakreslit pravoúhlý trojúhelník z geodetik a zkoumat, zda mezi délkami jeho stran neexistují nějaké zajímavé vztahy. A při pečlivém výpočtu se skutečně ukáže, že pythagorovské formulky pro sférický a hyperbolický pravoúhlý trojúhelník nejenže existují, ale vypadají, jako by si z oka vypadly.
Na sféře geometři vykoumali, že přepona c a odvěsny a, b musí splňovat rovnici
cos(c) = cos(a) * cos(b)
zatímco na hyperboloidu se tyto tři veličiny pojí takto:
cosh(c) = cosh(a) * cosh(b)
Z toho je mimochodem vidět, že mezi goniometrickými a hyperbolickými funkcemi existuje poměrně hluboký vztah, který jsme viděli již v komplexní analýze.
Navíc za okamžik uvidíme, že lokálně se obě Pythagorovy věty chovají eukleidovsky, tedy pro malé pravoúhlé trojúhelníčky se zmíněné rovnosti promění v tu, kterou známe ze školy:
c2 = a2 + b2
Tyto tři podoby Pythagorovy věty jsou pro mne další ukázkou pozoruhodné harmonie, která v matematice vládne.
Sférický Pythagoras
Zatímco v eukleidovské trigonometrii nalezneme úhly uvnitř goniometrických funkcí a strany vně, ve sférické verzi se stranám podařilo do sinů a kosinů vlámat taky. Důvod je celkem jednoduchý.
Ve sférické geometrii de facto měříme vzdálenosti pomocí středových úhlů. Na obrázku vpravo vidíme řez jednotkovou sférou a je celkem patrné, že naznačená délka zeleného sférického oblouku c je přímo úměrná středovému úhlu c'. Pokud ho měříme v radiánech, pak je dokonce c = c'. Pokud naše sféra jednotková není, stále existuje jednoduchá úměra mezi c a c':
c = R * c'
Proto není problém uvažovat pro trojúhelník se stranou délky c výraz cos(c), protože ta délka se dá chápat (a taky chápe) jako úhel.
Nuže do díla. Protože Pythagorova věta je v podstatě speciálním případem kosinové věty, odvodíme si nejprve její sférickou verzi. Vezmeme si trojúhelník ABC se stranami a, b, c a úhly A, B, C v odpovídajících vrcholech na jednotkové sféře se středem v bodě O.
Protože sféra je perfektně symetrická, můžeme si vhodnou rotací (aniž bychom změnili velikost stran či úhlů) natočit trojúhelník tak, aby vrchol C ležel na severním pólu a vrchol B na nultém poledníku (y = 0). Bod A ať si pak padne, kam chce (viz obrázek vpravo).
Tři body trojúhelníku odpovídají třem vektorům:
u = OC
v = OB
w = OA
Středový úhel AOB má velikost c (délky stran odpovídají středovým úhlům), a protože všechny vektory jsou jednotkové, jeho kosinus bude roven skalárnímu součinu
cos(c) = v.w
Jen teď musíme najít správné vyjádření pro oba vektory v tradičních sférických souřadnicích, ve kterých bude zeměpisná šířka měřena od pólu a zeměpisná délka od zeleného poledníku.
Vektor v bude odpovídat šířce a a délce 0, takže jeho souřadnice budou
v = (sin(a), 0, cos(a))
Vektor w má šířku b, délku C (viz obrázek) a tudíž souřadnice:
w = (sin(b) * cos(C), sin(b) * sin(C), cos(b))
Za skalární součin v.w proto dosadíme příslušný součin komponent
cos(c) = cos(a) * cos(b) + sin(a) * sin(b) * cos(C)
a to je v podstatě sférická verze kosinové věty.
Nyní položíme C = 90° a dostaneme Pythagorovu větu, která říká, že v pravoúhlém trojúhelníku na sféře splňují délky stran rovnici
cos(c) = cos(a) * cos(b)
Minule jsme při zkoumání úhlového defektu zjistili, že pro malé rozměry se sférické i hyperbolické trojúhelníky chovají podobně jako eukleidovské. Pojďme se tedy podívat, co se stane, když náš trojúhelník bude mít „maličké“ strany a, b a c.
Pro malé hodnoty x se funkce cos(x) dá aproximovat kvadratickým polynomem
cos(x) ~ 1 - x2 / 2
(jsou to de facto první dva členy Taylorova rozvoje kosinu do nekonečného polynomu)
Nuže dosaďme tuto aproximaci za jednotlivé členy sférické Pythagorovy věty:
(1 - c2 / 2) = (1 - a2 / 2) * (1 - b2 / 2)
Pravou stranu roznásobíme a po algebraické úpravě dostaneme
c2 = a2 + b2 - a2 b2 / 2
protože hodnoty a, b, c jsou malinké, člen a2 * b2 můžeme ve srovnání s ostatními zanedbat a dostaneme běžnou Pythagorovu větu.
c2 = a2 + b2
I zde tedy platí, že malé sférické trojúhelníky se chovají eukleidovsky.
Hyperbolický Pythagoras
Protože minule jsme prováděli výpočet v modelu poloroviny, dnes se přesuneme do kruhového modelu a započítáme si tam. Naším pískovištěm bude jednotkový kruh K a „přímky“ v něm budou představovat kružnice kolmé na K.
Přímka procházející body A a B je tedy (jednoznačně určená) zelená kružnice, jejíž konstrukci jsme zkoumali předminule. Tato kružnice protíná definiční kružnici K v bodech M a N.
Hyperbolickou vzdálenost mezi A a B budu značit d(A,B), zatímco pro běžnou eukleidovskou budu používat symbol AB. Neustále přepínání mezi eukleidovskými a hyperbolickými vzdálenostmi je asi nejtěžším aspektem hyperbolické trigonometrie.
Protože přímka (geodetika) je nejkratší spojnicí bodů A a B, vzdálenost d(A,B) mezi nimi se v principu spočítá tak, že si ten kousek zelené hyperbolické přímky (ať už vypadá jako kružnice nebo jako přímka) mezi A a B rozsekáme na spoustu malých infinitesimálních kousíčků, jeden každý z nich změříme příslušnou hyperbolickou metrikou a vzniklé mezivýsledky pak prostě sečteme (přesněji zintegrujeme, protože jsou infinitesimálně malé).
To je samozřejmě netriviální úkon, a proto ho za nás pro obecnou (ne nutně jednotkovou) kružnici provedli báječní muži s logaritmickými pravítky a zjistili, že vzdálenost d(A,B) se dá vyjádřit pomocí tzv. křížového poměru běžných eukleidovských vzdáleností:
d(A,B) = | log(AM * BN / AN * BM) |
(to, co je v závorce, definuje křížový poměr uvedených bodů [A,B;
M,N])
Pokud se stane, že jeden z těch dvou bodů je střed O jednotkové kružnice K, pak se zelená kružnice stane běžnou přímkou (kružnice s nekonečným poloměrem) a celý vzoreček se zjednoduší (viz obrázek nahoře). OM i ON budou rovny 1 (v našem případě je K jednotková kružnice) a pokud si označíme eukleidovskou vzdálenost mezi O a B' písmenkem x a dostaneme B'M = 1 - x, B'N = 1 + x, takže suma sumárum
(0) d(O,B') = | log |
(toto je de facto převod mezi eukleidovskou a hyperbolickou vzdáleností od
středu)
Tento speciální případ OB' se dokonce dá odvodit přímo z metriky, protože na přímce je ta integrace poměrně snesitelná (podrobnosti zde a zde). A protože obecný případ d(A,B) se dá do počátku „dotlačit“ pomocí Möbiových transformací, které zachovávají hyperbolické vzdálenosti, můžeme se při analýze trojúhelníku ABC omezit na situaci, kdy je bod A v počátku.
Nejprve ale rovnici (0) trochu přepíšeme. Pokud si hyperbolickou vzdálenost mezi O a B' označíme zkráceně jako d, můžeme ji vyjádřit pomocí exponenciály
(1) exp(d) = (1 + x) / (1 - x)
pro reciproké hodnoty pak dostaneme:
(2) exp(-d) = (1 - x) / (1 + x)
a pomocí hyperbolických funkcí můžeme (1) a (2) kombinovat:
(+) sinh(d) = 2x / (1 - x2)
(++) cosh(d) = (1 + x2) / (1 - x2)
(+++) tanh(d) = 2x / (1 + x2)
A teď zpátky k Pythagorově větě. Nejprve si odvodíme dvě pomocné rovnosti.
(3) cos(A) = tanh(b) / tanh(c)
(4) sin(A) = sinh(a) / sinh(c)
V trojúhelníku ABC necháme bod A v počátku O, takže dvě strany tohoto trojúhelníku budou (běžné) přímky s tím, že pravý úhel bude ve vrcholu C. Třetí strana trojúhelníku bude odpovídat zelené kružnici K', kolmé na K.
Označme si na chvíli eukleidovskou vzdálenost AC písmenkem x. Protože C a C'' jsou inverzní vzhledem ke K (obě kružnice jsou vzájemně ortogonální, a proto je K' inverzním obrazem sama sebe), platí:
AC'' = 1/AC = 1/x
a AP bude aritmetickým průměrem AC a AC'':
AP = (x + 1 / x) / 2 = (1 + x2) / 2x
Trojúhelníky AMP a AMC' jsou podobné, takže
AC'/AM = AM/AP
a protože AM = 1 (K je jednotková) dostaneme AC' * AP = 1, což znamená, že P a C' jsou inverzní body a platí tedy
AC' = 1/AP = 2x / (1 + x2) = tanh(b)
kde b je hyperbolická vzdálenost d(A,C), viz formulka (+++).
Eukleidovská vzdálenost AC' tedy představuje tanh hyperbolické vzdálenost b = d(A,C).
Podobně se ukáže, že AB' představuje tanh hyperbolické vzdálenost c = d(A,B).
Podíváme-li se na trojúhelník AB'C' eukleidovsky, máme
cos(A) = AC' / AB' = tanh(b) / tanh(c)
a to je přesně formulka (3).
A teď dokážeme formulku (4). A když už jsem si pracně nakreslil ten obrázek, ukážeme si ji nejprve pro sin(B) a pak prostě prohodíme proměnné.
Písmenkem x si pro změnu označíme eukleidovskou vzdálenost x = AB. Protože B a B'' jsou inverzní body vzhledem ke K (kolmost kružnic K a K'):
BB'' = AB'' - AB = 1/x - x = (1 - x2) / x
což se dá podle formulky (+) převést na hyperbolickou vzdálenost c = d(A,B)
BB'' = 2 / sinh(c)
Obdobně jsou C a C'' inverzní body, takže analogicky dostaneme
CC'' = 2 / sinh(b)
Úhel B je roven úhlu (XPB).
To není úplně triviální, ale pokud si v bodě B sestrojíte tečnu k zelené kružnici a uvážíte, že tato je kolmá na BP, bude to jasnější. Pokud ne, kopněte do sebe štamprli a uvidíte to hned. Proto můžeme hodnotu sin(B) spočítat z trojúhelníku XPB (BP je to samé, co CP a to je polovina CC''):
sin(B) = BX / BP = (BB'' / 2) / (CC'' / 2) = sinh(b) / sinh(c)
a pouhým přeznačením stran dostaneme rovnici (4)
sin(A) = sinh(a) / sinh(c)
(odpovídající přesunu vrcholu B do počátku a provedením téže
úvahy)
Z formulek (3) a (4) už hyperbolickou Pythagorovu větu obdržíme celkem snadno.
Začneme s triviální rovností:
1 = sin2(A) + cos2(A)
na kterou obě formulky aplikujeme.
1 = sinh2(a) / sinh2(c) + tanh2(b) / tanh2(c)
Obě strany vynásobíme sinh2(c):
sinh2(c) = sinh2(a) + cosh2(c) * tanh2(b)
dále k oběma stranám přičteme 1 a uvážíme, že 1 + sinh2(x) = cosh2(x):
cosh2(c) = cosh2(a) + cosh2(c) * sinh2(b) / cosh2(b)
a pronásobíme cosh2(b)
cosh2(c) * (cosh2(b) - sinh2(b)) = cosh2(a) * cosh2(b)
Závorka vlevo je rovna 1, takže už stačí jen odmocnit:
cosh(c) = cosh(a) * cosh(b)
A to je hyperbolická Pythagorova věta.
No, trochu jsem to ošulil, ale pokud se chcete v technických detailech pošťourat podrobněji, mrkněte sem. A protože pro malá x platí, že cosh(x) ~ 1 + x2 / 2, stejně jako ve sférické geometrii se přesvědčíme, že limitně se hyperbolická Pythagorova věta blíží té eukleidovské.
Shrnutí neeukleidovských geometrií
Tak končí naše geometrie. Kosinus prohrává a Eukleides žije. Čtenář by si teď mohl plným právem položit otázku, k čemu jsou ty neeukleidovské geometrie vlastně dobré. U sférické je to jasné. Žijeme na sféře a její geometrie je geometrií našeho pohybu po ní. Kartografové o tom vědí své.
U hyperbolické je to otázka o něco ošidnější. V matematice se samozřejmě hyperbolická geometrie používá pro speciální účely (kromě diferenciální geometrie například v teorii čísel či dynamických systémů). Obecná teorie relativity je v podstatě studiem zakřivených prostorů. Ale existují i trochu esoteričtější aplikace, se kterými se lze setkat při studiu komplexních sítí, atomických struktur, celulárních automatů či zobrazování grafů.
A ruku na srdce – hyperbolická geometrie má i určitý dosah estetický.
V každém případě je jejich studium jednou z nejpodnětnějších oblastí matematiky, protože naše zkostnatělé eukleidovské vidění neustále natahuje na skřipec imaginace. Nutí náš mozek pohlížet na svět rybíma očima.
Ale protože odlišností jednotlivých geometrií bylo v průběhu této minisérie poměrně dost, podívejme se na závěr na jejich stručný přehled.
Několik upřesnění:
- počet rovnoběžek je vztažen k dané přímce a bodu, který na ní neleží
- chování rovnoběžek je přesněji chování přímek se společnou kolmicí: v eukleidovské si udržují stejnou vzdálenost, ve sférické se vzdálenost mezi nimi zmenšuje a v hyperbolické naopak zvětšuje
- poměr obvod: průměr se rozumí u kružnice
- součet vnitřních úhlů zase v trojúhelníku
- Pythagoras, pokud ho neznáte, je mimo jiné číselný mystik
- metrika je vztažena k běžné eukleidovské, tj. ds2 = dx2 + dy2, a její přesný tvar závisí na konkrétním modelu
A za staré Řecko je to ke geometrii asi tak všecko.
Článek je redakčně upravenou verzí blogového příspěvku na serveru iDNES.cz. Publikováno s laskavým svolením autora. Další díly a původní texty jsou dostupné na blogu Jana Řeháčka.
