Problematice kvadratických forem se v minulosti věnovalo mnoho slavných matematiků. Na jejich poznatky teď úspěšně navazuje také Vítězslav Kala z Katedry algebry MFF UK. Ten za svůj výzkum v březnu získal jednu z výročních cen Nadačního fondu Bernarda Bolzana. Mladý matematik potvrzuje, že i klasické téma pořád ještě nabízí prostor k objevování, přestože dosáhnout zde nových výsledků nebývá úplně jednoduché.
Cenu NF Bernarda Bolzana jste získal za pět svých matematických článků. První publikace je z roku 2015. Za tři roky jste dokázal dojít k významným závěrům. Vnímá matematik čas, pokud pracuje na nějakém podobně složitém problému, jako jsou univerzální kvadratické formy?
Jak se to vezme. Tři roky v matematice nejsou až tak dlouhá doba, právě tak dlouho často zabere, než vyřešíte nějaký problém, sepíšete výsledky a publikujete je v odborném časopise. Zároveň se toho ale během posledních pár let dost změnilo v mém životě. V roce 2015, po skončení doktorátu v Americe, jsem byl na postdoku v Německu, odkud jsem se předloni vrátil do Prahy. Proto mi přijde, že rok 2015 byl už docela dávno.
Co vás k matematice přivedlo?
Matika mi šla a bavila mě od mala, už ve školce jsem prý s oblibou sčítal trojciferná čísla popisná. Takže to, že jsem u ní zůstal až dodnes, bylo poměrně přirozené. I když třeba během doktorátu a postdoku v zahraničí jsem o tom měl dost pochybností. Ale baví mě možnost proniknout do daného problému, získat jakýsi vhled, díky kterému pak jsou věci najednou jasnější.
Jak důležitá je pro matematika představivost? Můžeme si pod ní představit tu představivost, kterou má většina lidí?
Představivost je rozhodně zásadní. Možná i pro většinu matematiků to je opravdu ta běžná, obrazová představivost, ale zrovna já nejsem vůbec vizuální typ. Ale přesto je pro mě důležitá schopnost odhadnout, jak se budou chovat ty abstraktní objekty, se kterými pracuji. Možná by ale bylo lepší tomu říkat nějaká intuice.
Je možné nějak popularizačně vysvětlit, v čem spočívají vaše výsledky?
Věnuji se zkoumání toho, která čísla jdou vyjádřit pomocí kvadratických vzorečků. Například Lagrange na konci 18. století dokázal větu o čtyřech čtvercích, která říká, že každé přirozené číslo jde vyjádřit jako součet čtyř druhých mocnin, jako třeba 15 = 9 + 4 + 1 + 1 = 32 + 22 + 12 + 12. Jinými slovy, součet čtyř čtverců je univerzální kvadratická forma, kde slovo univerzální znamená právě to, že takto jdou vyjádřit všechna čísla. K důkazu výsledků tohoto typu se často hodí pracovat s obecnějšími čísly, například s komplexními čísly x + iy, jejichž obě souřadnice x a y jsou celočíselné. Množina všech takovýchto čísel se nazývá číselné těleso. A jak už název mé práce Univerzální kvadratické formy a rodiny číselných těles napovídá, zkoumám to, které kvadratické formy jsou univerzální nad jakým číselným tělesem.
V čem jsou vámi podané důkazy přínosné, jak mohou přispět k dalšímu poznání?
Spolu s mými spoluautory se nám podařilo propojit dvě klasické oblasti matematiky, a sice univerzální kvadratické formy a řetězové zlomky, což je jistý jiný způsob vyjadřování reálných čísel. Z tohoto spojení vychází většina z mých nedávných výsledků... Myslím, že tento směr úvah ještě zdaleka není vyčerpaný a že bude podnětný i nadále.
Jaké odborné problémy byste chtěl řešit do budoucna?
Zatím chci především pokračovat v tomto výzkumu, čili ve zkoumání univerzálních forem. Mimo jiné se v poslední době s mojí doktorandkou Magdou Tinkovou soustřeďujeme na možnosti využití jistých zobecněných řetězových zlomků, jejichž teorie není zdaleka tak dobře prozkoumaná. To by nakonec mělo umožnit porozumění univerzálním formám nad mnohem obecnějšími číselnými tělesy, než jsou ta, která zatím umíme zkoumat.
Proč jste pro svůj odborný zájem zvolil právě klasickou problematiku? Je to větší výzva, nebo k tomu máte jiné důvody?
Výzva to určitě je, ale zároveň vidím půvab v tom, že mohu po malých krůčcích přispívat k pokroku v oblastech, kterým se věnovali už velikáni jako Fermat a Gauss. Tím spíš, že tento výzkum je oproti jiným oblastem matematiky relativně přístupný, takže do něj můžu zapojovat dokonce i nadané bakalářské studenty. Mám velkou radost, že i mým studentům se daří dokazovat a publikovat zajímavé výsledky!
Nadační fond Bernarda Bolzana funguje od roku 1999 při Matematicko-fyzikální fakultě UK. K jeho úkolům patří mimo jiné nevýdělečná podpora vědecké a pedagogické činnosti na Univerzitě Karlově v oborech fyziky, matematiky a informatiky, rozšiřování úrovně experimentálních možností a teoretických postupů nebo zprostředkování širšího mezinárodního uplatnění vědeckých výsledků dosažených v daných oborech na UK.
Mohlo by vás zajímat:
Na
hranici těžkých problémů
Stále
mě okouzluje všestrannost matematiky
NF
Bernarda Bolzana ocenil trojici mladých vědců