O statistice a plovouc├şm t─Ťlese

O statistice a plovouc├şm t─Ťlese

Matematika / rozhovor

Porota Nada─Źn├şho fondu Bernarda Bolzana ocenila za rok 2019 tak├ę matematika dr. Stanislava Nagye. V pr├íci v─Ťnovan├ę statistick├ę hloubce se mlad├ęmu v─Ťdci poda┼Öilo propojit dv─Ť zd├ínliv─Ť nesourod├ę matematick├ę discipl├şny.

Mohl byste kr├ítce p┼Öedstavit koncept statistick├ę hloubky a jeho vyu┼żit├ş?

Sn├í─Ć najjednoduch┼í├şm pr├şkladom je medi├ín. Povedzme, ┼że m├íte k dispoz├şcii v├Żsledky experimentu ÔÇô n meran├ş nejakej veli─Źiny ktor├í v├ís zauj├şma, ─Źi u┼ż to je teplota varu vody alebo ve─żkos┼ą vzdialenej hviezdy. Va┼íou ├║lohou je t├Żchto n pozorovan├ş sumarizova┼ą. To znamen├í pop├şsa┼ą pomocou jedin├ęho ─Ź├şsla, ktor├ę dobre vypoved├í o skuto─Źnej hodnote meranej veli─Źiny, o─Źistenej od r├┤znych n├íhodn├Żch ch├Żb ovplyv┼łuj├║cich merania. Ka┼żd├ęmu napadne priemer. Ten v┼íak ─Źasto nie je vhodn├Ż. Sta─Ź├ş jedin├ę ve─żmi chybn├ę meranie, a priemer zostane vych├Żlen├Ż smerom k tomuto chybn├ęmu pozorovaniu. Podobne, v ist├Żch situ├íci├ích nie je mo┼żn├ę garantova┼ą, ┼że pre po─Źet pozorovan├ş n rast├║ci do nekone─Źna sa bude priemer t├Żchto pozorovan├ş skuto─Źne bl├ş┼żi┼ą k nejakej zmysluplnej hodnote.

Alternat├şvnym pr├şstupom k probl├ęmu je vo─żba medi├ínu, teda pozorovania ktor├ę le┼ż├ş ÔÇ×uprostredÔÇť zoraden├Żch hodn├┤t meran├ş. Je jednoduch├ę vidie┼ą, ┼że medi├ín bude iba m├ílo ovplyvnen├Ż nejak├Żm hrubo chybn├Żm meran├şm. Podobne, je mo┼żn├ę uk├íza┼ą, ┼że pre po─Źet pozorovan├ş id├║ci do nekone─Źna bude medi├ín v┼żdy bl├şzky rozumnej hodnote, ktor├í dobre popisuje meran├║ veli─Źinu.

Roz┼í├şrme teda n├í┼í experiment a povedzme, ┼że v ka┼żdom pozorovan├ş sme schopn├ş namera┼ą dve veli─Źiny (teplotu varu vody a tlak vzduchu, alebo ve─żkos┼ą a hmotnos┼ą hviezdy) samozrejme op├Ą┼ą s n├íhodnou chybou v ka┼żdej zlo┼żke. Z├şskame n bodov v rovine, ktor├ę s├şce dok├í┼żeme vykresli┼ą, nevieme ich u┼ż ale rozumne zoradi┼ą. Nedok├í┼żeme teda poveda┼ą, ktor├Ż bod je ÔÇ×v─żavoÔÇť od in├ęho, alebo ─Źi je pozorovanie so s├║radnicami (1,2) ÔÇ×men┼íieÔÇť ako in├ę so s├║radnicami (0,3). ┼Żiadne pozorovanie jasne ÔÇ×uprostredÔÇť neexistuje, a medi├ín nedok├í┼żeme definova┼ą.

Tu prich├ídza na pomoc h─║bka. Pre dan├║ mno┼żinu dvojrozmern├Żch (alebo d-rozmern├Żch) pozorovan├ş, h─║bka je funkcia, ktor├í ka┼żd├ęmu bodu x z dvojrozmern├ęho priestoru R2 (resp. Rd) prirad├ş jedin├ę nez├íporn├ę ─Ź├şslo, ktor├ę m├í popisova┼ą, ako ve─żmi ÔÇ×centr├ílneÔÇť postaven├Ż x je vo─Źi mno┼żine pozorovan├ş. Z├şskavame mo┼żnos┼ą zoradi┼ą pozorovania, tentokr├ít v zmysle od centra (od bodu s najv├Ą─Ź┼íou h─║bkou) smerom von k bodom s n├şzkymi hodnotami h─║bky. Ako najcentr├ílnej┼í├ş bod je definovan├Ż ten s maxim├ílnou hodnotou h─║bky. Tento m├┤┼żeme zobra┼ą ako nov├Ż medi├ín.

V ┼ítatistickej literat├║re existuje cel├í rada h─║bok. N├ís zauj├şma najm├Ą klasick├í, tzv. polopriestorov├í h─║bka, ktor├í napr. bodu xR2 prirad├ş najmen┼í├ş po─Źet pozorovan├ş le┼żiacich na jednu stranu od priamky prech├ídzaj├║cej x. D├í sa uk├íza┼ą, ┼że medi├ín zalo┼żen├Ż na polopriestorovej h─║bke m├í st├íle dobr├ę vlastnosti medi├ínu zn├ímeho z dimenzie d=1.

V ─Źem spo─Ź├şv├í s├şla tohoto konceptu?

H─║bka n├ím umo┼ż┼łuje rozumne zora─Ćova┼ą pozorovania v priestore Rd aj pre d>1. Rovnako ako pre d=1 teda op├Ą┼ą z├şskavame mo┼żnos┼ą poveda┼ą, ktor├Ż bod je ÔÇ×centr├ílnej┼í├şÔÇť, alebo ÔÇ×hlb┼í├şÔÇť ako in├Ż. To otv├íra ┼íirok├ę mo┼żnosti aplik├ície v tzv. neparametrickej ┼ítatistickej anal├Żze d├ít.

Pre jednorozmern├ę d├íta, neparametrick├í ┼ítatistika predstavuje obsiahly s├║bor met├│d anal├Żzy zalo┼żen├Żch pr├íve na konceptoch porad├ş, usporiadania, alebo kvantilov. A┼ż trochu prekvapivo sa ukazuje, ako siln├ę tieto met├│dy s├║ v pr├şpade, ┼że z nejak├ęho d├┤vodu v├Żskumn├şk nechce, alebo nem├┤┼że, o svojich d├ítach predpoklada┼ą radu obmedzuj├║cich predpokladov ak├Żmi s├║ normalita, symetria, elipticita apod.

V pr├şpade d>1 u┼ż existuje ve─żk├ę mno┼żstvo n├ívrhov na pou┼żitie h─║bky pre kon┼ítrukciu neparametrick├Żch ┼ítatistick├Żch met├│d. Na rozdiel od za┼żit├Żch met├│d platn├Żch pre d=1 v┼íak v├Ą─Ź┼íinou doposia─ż nie s├║ plne akceptovan├ę, najm├Ą z d├┤vodu ┼że o vlastnostiach h─║bky toho st├íle vieme pr├şli┼í m├ílo.

V ─Źem je naopak koncept statistick├ę hloubky v rozporu s klasickou statistikou?

V klasickej ┼ítatistike m├íme nieko─żko z├íkladn├Żch v├Żsledkov ako s├║ r├┤zne z├íkony ve─żk├Żch ─Ź├şsel, alebo centr├ílne limitn├ę vety. Ve─żk├í ─Źas┼ą te├│rie sa dokazuje pr├íve aplik├íciou vari├ínt t├Żchto d├┤le┼żit├Żch tvrden├ş. Ukazuje sa ale, ┼że na h─║bku tieto v├Żsledky nedok├í┼żeme priamo aplikova┼ą. U┼ż ┼ítandardn├ę v├Żsledky v oblasti h─║bky teda ─Źasto sk├┤r ─Źerpaj├║ z in├Żch ─Źast├ş matematiky, a to samozrejme prin├í┼ía probl├ęmy a nezriedka aj chyby.

Ocen─Ťn├ę pr├íce se dot├Żkaj├ş v├şce oblast├ş matematiky, kter├ę se obvykle p┼Ö├şli┼í nepotk├ívaj├ş. Co v├ís inspirovalo k tomuto v├şceoborov├ęmu pohledu?

V skratke, n├íhoda. U┼ż dlh┼íiu dobu som vedel, ┼że ist├ę teoretick├ę v├Żsledky o h─║bke patria viac do geometrie ne┼ż ┼ítatistiky a pravdepodobnosti, nikdy som ale nenarazil na priame s├║vislosti. O to viac som bol prekvapen├Ż, ke─Ć som pri listovan├ş zn├ímou knihou o geometrii narazil na pojem tzv. pl├ívaj├║ceho telesa. Je jednoduch├ę vidie┼ą, ┼że pl├ívaj├║ce teleso je pojmom ekvivalentn├Żm h─║bke, zaveden├Żm ale ├║plne nez├ívisle od v├Żskumu v ┼ítatistike.

V ┼ítatistike sa h─║bka prv├Żkr├ít objavila v roku 1975. V geometrii bol pojem pl├ívaj├║ceho telesa zaveden├Ż o viac ne┼ż 150 rokov sk├┤r. U┼ż v roku 1822 sa Charles Dupin p├Żtal, ak├Żm sp├┤sobom pl├ívaj├║ ─żahk├ę predmety na vodnej hladine. Uva┼żujte nejak├ę teleso z ─żahk├ęho dreva K, polo┼żte ho na vodn├║ hladinu, a sledujte sp├┤sob ak├Żm sa tento ├║tvar spr├íva, ke─Ć ho ot├í─Źate. Ak je drevo dos┼ą ─żahk├ę, ─Źas┼ą telesa zostane pri ka┼żdom oto─Źen├ş nad hladinou. T├íto ─Źas┼ą telesa K sa naz├Żva pl├ívaj├║ce teleso.

Je jednoduch├ę uk├íza┼ą, ┼że pl├ívaj├║ce teleso je iba variantou polopriestorovej h─║bky, ak ju spr├ívne aplikujeme na K. O pl├ívaj├║cich teles├ích pritom v matematike existuje viac ne┼ż sto rokov v├Żskumu, o ktorom sme v ┼ítatistike v├┤bec nevedeli. Na z├íklade t├Żchto nezn├ímych tvrden├ş sa n├ím podarilo vyrie┼íi┼ą nieko─żko star┼í├şch otvoren├Żch probl├ęmov h─║bky a v tejto dobe st├íle nach├ídzame ─Ćal┼íie s├║vislosti. Zd├í sa, ┼że potenci├íl na prepojenie viacrozmernej ┼ítatistiky, geometrie a ─Ćal┼í├şch oborov matematiky je ve─żk├Ż.

Toto propojov├ín├ş r┼»zn├Żch pohled┼» ur─Źit─Ť vy┼żaduje zna─Źn├Ż p┼Öehled. Otev├şraj├ş se v├ím d├şky tomu podobn├ę syntetick├ę pohledy i na dal┼í├ş matematick├ę probl├ęmy?

Rozhodne ├íno. Prepojenie polopriestorovej h─║bky a pl├ívaj├║cich telies berieme ako prv├Ż krok, ktor├Ż n├ím otvoril mo┼żnosti medziodborovej spolupr├íce v ┼ítatistike a v┼íeobecnej matematike. V tejto dobe sa u┼ż rovnako venujeme sk├║maniu ─Ćal┼í├şch zauj├şmav├Żch prepojen├ş t├Żchto oblast├ş. Ako s─żubn├Ż sa jav├ş napr. v├Żskum tzv. zonoidov mier, ktor├ę sa podobne ako h─║bka objavuj├║ s├║─Źasne v ┼ítatistike, geometrii a funkcion├ílnej anal├Żze.

Jde podle v┼íeho o unik├ítn├ş v├Żsledky. Jak dlouho se t├ęmatu v─Ťnujete?

S h─║bkou som sa prv├Żkr├ít stretol tak pred 10 rokmi, po─Źas p├şsania diplomovej pr├íce na MFF UK. Prepojenia h─║bky s geometriou sk├║mame od roku 2016. V bl├şzkej dobe ale ur─Źite t├ęmu nevy─Źerp├íme, sk├┤r v tejto dobe venujem ├║silie propag├ícii t├Żchto nov├Żch v├Żsledkov, s vierou v zapojenie ─Ćal┼í├şch odborn├şkov a ┼íikovn├Żch ┼ítudentov do v├Żskumu.

Co pro v├ís znamen├í ocen─Ťn├ş NFBB?

Je skvel├ę vidie┼ą, ┼że pr├íca ktorej venujeme tak├ę mno┼żstvo ├║silia d├íva zmysel, a bud├ş z├íujem.

Spolupracujete osobn─Ť trvale se zahrani─Ź├şmi kolegy?

Medzin├írodn├í spolupr├íca prebieha a ur─Źite je prospe┼ín├í. Ja vysoko oce┼łujem najm├Ą spolupr├ícu s expertmi z geometrie a matematickej anal├Żzy, kombin├ícia ich znalost├ş s t├Żm, ─Źo dok├í┼żeme vytvori┼ą my, pos├║va v├Żskum na ├║plne in├║ ├║rove┼ł. Rovnako ale nemysl├şm, ┼że pr├íve v matematike mus├ş by┼ą zahrani─Źn├í spolupr├íca v┼żdy tak z├ísadn├Żm krit├ęriom ├║spechu v├Żskumu, ako ─Źasto po─Ź├║vame.

Kam byste za┼Öadil Matfyz na osobn├şm ┼żeb┼Ö├ş─Źku srovn├ív├ín├ş v─Ťdeck├Żch instituc├ş v r├ímci Evropy ─Źi cel├ęho sv─Ťta?

Pracujem najm├Ą v ┼ítatistike, samozrejme teda nem├┤┼żem hovori┼ą za v┼íetky obory. Z h─żadiska odbornosti je ale na tom, pod─ża m├┤jho n├ízoru, Matfyz ve─żmi dobre. U┼ż v├Żuka ┼ítudentov prebieha na nezriedka ─Ćaleko vy┼í┼íej ├║rovni, ne┼ż na rade prest├ş┼żnych zahrani─Źn├Żch pracov├şsk. V odbornosti v├Żskumu na tom nie sme hor┼íie. Na druh├║ stranu sa neviem ubr├íni┼ą dojmu, ┼że str├ícame v pr├şprave na vedeck├║ pr├ícu v Ph.D. programoch. To s├║vis├ş s ─Źasto ni┼ż┼í├şm sebavedom├şm a priebojnos┼ąou, hlavne v porovnan├ş s podobn├Żmi v├Żskumn├Żmi skupinami v zahrani─Ź├ş. A nakoniec s├║ tu ve─Źn├ę probl├ęmy zbyto─Źnej administrat├şvnej z├í┼ąa┼że, malej motiv├ície pre ambici├│zny v├Żskum a podobn├ę prek├í┼żky, ktor├ę brzdia obrovsk├Ż tunaj┼í├ş potenci├íl. To je u┼ż ale in├Ż pr├şbeh.

Nada─Źn├ş fond Bernarda Bolzana funguje od roku 1999 p┼Öi Matematicko-fyzik├íln├ş fakult─Ť UK. K jeho ├║kol┼»m pat┼Ö├ş mimo jin├ę nev├Żd─Ťle─Źn├í podpora v─Ťdeck├ę a pedagogick├ę ─Źinnosti na Univerzit─Ť Karlov─Ť v oborech fyziky, matematiky a informatiky, roz┼íi┼Öov├ín├ş ├║rovn─Ť experiment├íln├şch mo┼żnost├ş a teoretick├Żch postup┼» nebo zprost┼Öedkov├ín├ş ┼íir┼í├şho mezin├írodn├şho uplatn─Ťn├ş v─Ťdeck├Żch v├Żsledk┼» dosa┼żen├Żch v dan├Żch oborech na UK.


Mohlo by v├ís tak├ę zaj├şmat:

Jak ochladit molekulu
Kouzlo hled├ín├ş p┼Öibli┼żn├ę hodnoty

Tento ─Źl├ínek jsme automaticky naimportovali z p┼Öedchoz├şho redak─Źn├şho syst├ęmu. Pokud se v n─Ťm n─Ťco pokazilo, dejte n├ím pros├şm v─Ťd─Ťt.