Matematika koronaviru: Tajemství čísla R

Matematika koronaviru: Tajemství čísla R

Matematika / článek

Co říká matematika o koronaviru a jak správně interpretovat pojmy, které dennodenně slýcháme v médiích?

Žádné číslo si za poslední rok nevysloužilo tolik pozornosti, jako takzvané číslo R. Média nás pravidelně informují, jakou má hodnotu a zda klesá, nebo už je opět na vzestupu. Důvod je zřejmý. Reprodukční číslo totiž naznačuje, jak by se epidemie mohla dál vyvíjet - říká nám, kolik dalších osob průměrně nakazí jeden infikovaný. Jde také o jeden ze základních ukazatelů, od kterého se odvíjejí protiepidemická opatření.

Vzhledem k tomu, o jak důležité číslo jde, je zarážející, jak málo informací o konkrétním postupu výpočtu v ČR a vstupních datech má česká veřejnost k dispozici. Přesný postup výpočtu reprodukčního čísla v konkrétních českých podmínkách nikdy nezveřejnila ani vláda, ani ministerstvo zdravotnictví, ani Ústav zdravotnických informací a statistiky ČR (ÚZIS).

Reprodukční číslo není jen jedno

Předně poznamenejme, že epidemiologové rozlišují takzvané základní reprodukční číslo R0, kdy se nemoc šíří zcela volně bez vnějších zásahů. Pro koronavirus se toto reprodukční číslo odhaduje v rozmezí hodnot 1,4 až 3,9. Pro srovnání, u sezónní chřipky se tato hodnota pohybuje v intervalu 0,9 - 2,1.

Pokud hodnotu reprodukčního čísla ovlivňují vnější zásahy, mluvíme o takzvaném efektivním reprodukčním čísle Rt. V takovém případě je konkrétní stav šíření nákazy v dané populaci ovlivněn tím, jak se lidé chovají či jaká omezení byla vyhlášena. Jestliže se dnes v médiích hovoří v souvislosti s koronavirem o čísle R, má se tím téměř vždy na mysli Rt. Tohoto zjednodušení se držíme i my.

Veškerá opatření, která v souvislosti s epidemií nemoci COVID-19 dodržujeme, mají za cíl zpomalit, či dokonce zastavit šíření viru. To, zda jsou tato omezení v reálu účinná, se pak promítá do počtu nově nakažených osob a samozřejmě také do hodnoty reprodukčního čísla.

O reprodukčním čísle obecně víme, že pokud se denní přírůstky nově nakažených osob zvyšují, je hodnota R větší než 1. Pokud naopak klesají, dostala se jeho hodnota pod 1. Tato prvotní úvaha nám sice dává základní přehled o vývoji epidemie, ale pouze z dlouhodobého hlediska. V současné situaci, kdy se snažíme z poskytnutých dat vyčíst, co nás čeká v příštích dnech, je tento odhad nedostačující.

Odhady reprodukčního čísla

Pro odhad reprodukčního čísla se v současné době využívá zjednodušeného výpočtu, se kterým přišel německý Institut Roberta Kocha. Ten kromě počtu denních přírůstků nakažených zohledňuje také období nakažlivosti jedince, a to v podobě takzvaného sériového intervalu. To je časové období mezi nástupem příznaků u nakažlivého jedince a prvním nástupem příznaků u nakažené osoby. Kromě sériového intervalu přihlíží také ke zpožděné diagnostice případů, ať už z důvodu pozdního hlášení případů či pozdního nástupu příznaků nemoci (jde o takzvaný „nowcasting“ neboli zpřesnění krátkodobé předpovědi).

Způsob výpočtu odhadu reprodukčního čísla v systému PES

Odhad R pak získáme podílem dvou sedmidenních součtů nově nakažených osob, vzájemně posunutých o průměrnou délku již zmíněného sériového intervalu (u koronaviru je to 5 dní), jak je naznačeno na obrázku.

Tento výpočet má řadu výhod. Přestože je jednoduchý, poskytne nám poměrně přesný výsledek, neboť zhruba na devadesát procent koreluje s hodnotou reprodukčního čísla zveřejňovanou ÚZIS ČR. Dále zahrnuje i období šíření nemoci daným jedincem a nakonec zvolené sedmidenní období zamezuje náhlým výkyvům hodnoty R v důsledku odhalení lokálních ohnisek nákazy neboli klastrům. Patrně i ze zmíněných důvodů byl tento výpočet použit v metodice k vládnímu Protiepidemickému systému ČR (PES), už ale bez použití „nowcastingu“.

Je však nutné si uvědomit, že tento zjednodušený odhad zdaleka nepostihuje celou realitu. Kdybychom začali pátrat po přesnějším výpočtu reprodukčního čísla, dostaneme se do úzkých, neboť pro výpočet R z dostupných dat neexistuje žádný matematický vzorec. Hodnota R se musí dopočítávat jako výstup epidemiologických SIR modelů (viz minulý článek) s více parametry:

R = β / γ

přičemž parametr beta je přímo úměrný součinu počtu kontaktů a míře osobní ochrany

β = (počet kontaktů) × (míra osobní ochrany)

a parametr gama představuje převrácenou hodnotu průměrné doby infekčnosti

γ = 1 / (průměrná doba infekčnosti)

Ze vzorce je patrné, že použité parametry mají poměrně široké rozmezí. Například průměrná doba infekčnosti se u onemocnění COVID-19 udává v intervalu od 1 do 14 dnů, ve výjimečných případech až 21 dnů, což značně ovlivňuje výsledek výpočtu. Nemluvě pak o parametrech míra osobní ochrany či omezení sociálních kontaktů, které jsou velmi individuální.

Díky těmto poznatkům se ukazuje, že hodnota R počítaná pro velkou skupinu lidí, například pro celou Českou republiku, má malou vypovídající hodnotu, a to zejména v případě nemoci COVID-19, o němž se předpokládá, že se často šíří v již zmíněných klastrech, kde jedna osoba může nakazit mnoho dalších. Mnozí odborníci dokonce usuzují, že šíření v klastrech je typičtější než komunitní.

Společenská izolace

Z výše zmíněných důvodů je zřejmé, že ze samotné hodnoty R nelze spolehlivě určit to, co je pro dnešní situaci nejdůležitější, a to jak se bude epidemie v čase vyvíjet. Samotné číslo R nestačí jako argument, že se situace zlepšuje, anebo zhoršuje.

Co však lze vypozorovat, je úzká korelace hodnot R a míry společenské izolace (především vůči rizikovým skupinám). V předchozím článku jsme již popisovali, že omezení společenských kontaktů je zcela zásadní pro zvládnutí epidemie. V průběhu první koronavirové vlny vznikl projekt Život během pandemie, jehož cílem je mj. sledovat, jak se vyvíjí sociální chování Čechů od začátku pandemie. Následující graf zobrazuje závislost čísla R, počítaného dle metodiky systému PES, na redukci rizikových kontaktů (relativně vůči neepidemické situaci) dva týdny zpět.

Graf závislosti reprodukčního čísla na redukci rizikových kontaktů. Číslo 100 na horizontální ose odpovídá standardnímu počtu kontaktů mezi lidmi v únoru 2020, číslo 75 pak např. znamená snížení kontaktů o jednu čtvrtinu. Jednotlivé body jsou popsány čísly v týdnu, R  je počítáno vždy ve čtvrtek daného týdne (zdroj: https://www.bisop.eu/situacni-zprava-vakcinace/)

Všimněte si, že od začátku druhé vlny je závislost skoro lineární, v týdnech 46 a 47 (9. 11. - 22. 11.) je reprodukční číslo menší, než by předpovídala přímka. Nicméně v posledních dvou týdnech se hodnoty opět vrací na přímku. Co je příčinou nižších hodnot R, je nesnadné určit: zásluhu na poklesu v druhém týdnu by snad mohl mít státní svátek (17. 11.). Celkový pokles může však také souviset s nižším počtem provedených testů. Podle průzkumu realizovaného v rámci zmíněného projektu Život během pandemie se v těchto sledovaných týdnech nechala testovat méně než čtvrtina z těch, kteří pociťovali příznaky typické pro nemoc COVID-19.

Na základě předestřených faktů je možné předpokládat, že rozvolnění protiepidemických opatření, které přináší nárůst počtu rizikových kontaktů, zvýší hodnoty R nad jedničku, což dříve nebo později znamená opět návrat do vyšších stupňů systému PES. A právě to se děje v současnosti.

Je zřejmé, že pokud chceme uvolňovat omezení, a to ideálně bez toho, abychom je později museli opět zavádět, musíme epidemii omezovat jinými prostředky, jako je například testování, trasování nebo očkování. Ani jedna z těchto alternativ u nás bohužel zatím příliš dobře nefunguje. Tak snad se to brzy změní.

Další články k tématu