Číslo π se kolem lidstva točí po tisíciletí. Jeho přibližnou hodnotu 3,14 znali lidé už ve starověku. A nejen to. Díky Archimedovi znali také způsob, jak spočítat jeho další cifry.
Je až neskutečné, že s Archimedovou metodou, která vznikla 250 let před naším letopočtem, si matematici vystačili ještě následujících osmnáct století. Ideové osvěžení vnesli do problému až geniální matematici novověku. V poslední době se s číslem π trápí počítače.
Ač s pomocí Archimedovy metody zvládli matematici spočítat π s přesností téměř na 40 desetinných míst, stále si kladli otázku, zda neexistuje efektivnější způsob výpočtu. Definitivní odpověď se však dostavila až s objevením kalkulu v polovině 17. století.
Jeden z prvních vzorců pro π, který z těchto nových metod vzešel, byl součin:
který odvodil John Wallis. Uvedené tři tečky ve vzorci
naznačují, že se jedná o takzvaný nekonečný součin, tedy součin, který
obsahuje nekonečný počet členů. Čím více členů se do výpočtu zahrne,
tím bude výsledek přesnější.
O něco později zveřejnil Gottfried Leibniz slavnou nekonečnou řadu:
Zajímavost této řady tkví v tom, že poukazuje na souvislost π s lichými čísly. Její jednoduchost bere dech, ale k praktickému výpočtu
hodnoty π se vůbec nehodí. Sečteme-li například první dvě
stovky členů, stále ještě dostaneme o dost horší aproximaci π,
než ke které dospěl před dvěma tisíci lety Archimedes.
Další zajímavou nekonečnou řadou, ve které se π objevuje, je:
již odvodil matematik Leonhard Euler. Ač je tato řada
efektivnější než předchozí, postupným přidáváním dalších a dalších členů se ke skutečné hodnotě π přibližujeme stále
dost pomalu. Je tedy jasné, že ne všechna vyjádření π jsou
vhodná pro jeho výpočet.
Teprve matematici následujících generací vymysleli řady, které tyto výpočty zvládají rychleji. Na začátku 18. století John Machin vyvinul jednu z nejrychlejších, byť ne tak elegantních řad, která využívá vztahu:
S její pomocí rozdrtil všechny dosavadní rekordy a vypočítal π
na sto desetinných míst.
V 60. letech 18. století dokázal Johann Heinrich Lambert to, co všichni už dlouho tušili: π je iracionální číslo, z čehož mimo jiné vyplývá, že jeho desetinný rozvoj nikdy neskončí. Nicméně zájem o výpočet π na mnoho desetinných míst neuhasl.
Machinův vzorec s ještě větším zápalem zužitkovali k výpočtu další badatelé. Mezi ně patřil anglický amatérský matematik William Shanks, jenž hledání dalších desetinných míst π zasvětil většinu života. Jemu se podařilo vypočítat 707 číslic. Později se však zjistilo, že při výpočtu 527. desetinného místa udělal chybu, což ovlivnilo všechny následující číslice. Uvážíme-li ale, že Shanks všechny výpočty prováděl „ručně“, je i tak jeho výkon hodný obdivu.
Příchod počítačů ve 20. století vedl k novým rekordům. Byla přidávána další a další desetinná místa π a v 70. letech byla dokonce překonána hranice milionu číslic. Pokrok však nebyl rychlejší jen kvůli rychlejšímu hardwaru, ale také díky novým algoritmům. Bylo by mylné, kdybychom se domnívali, že se vývoj výpočtu π zastavil. Naopak, nejnovější algoritmy výpočtu využívají poznatků z matematické analýzy či teorie pravděpodobnosti.
Ač se často uvádí, že znalost π s přesností na 40 desetinných míst je naprosto dostačující i pro astronomické výpočty, jeho neustálé zpřesňování není zcela samoúčelné. V dnešní době se algoritmů pro výpočet hodnoty π na mnoho desetinných míst využívá k testování integrity softwaru, hardwaru a podobně. Chyba v desetinném rozvoji totiž pomáhá odhalit chybu počítače.
Mohlo by vás zajímat: