Pozor! Používáte zastaralý prohlížeč, stránka se nemusí zobrazovat správně. Aktualizujte jej a zlepšete tak svůj uživatelský zážitek.

Matfyz.cz

Kolik desetinných míst má π?

Ludolph van Ceulen zpřesnil výpočet hodnoty π na 35 desetinných míst

Spousta z nás se s konstantou π neboli Ludolfovým číslem setkala poprvé ve školních lavicích. Možná že si ještě pamatujete jeho přibližnou hodnotu 3,14… (a spoustu dalších číslic).

Π je iracionální číslo, což znamená, že jeho hodnotu není možné vyčíslit úplně přesně, neboť jeho desetinný rozvoj je nekonečný. Nutno přiznat, že k běžným výpočtům nám přibližná hodnota stačí. Ne však matematikům, kteří zaokrouhlená čísla nikdy neměli v oblibě. S hrubým odhadem 3,14 se odmítali spokojit už myslitelé starých časů a pro π se snažili nalézt co nejpřesnější číselné vyjádření.

První vážnější pokus o přesné vyčíslení provedl ve 3. století před naším letopočtem Archimedes. Bylo mu známo, že číslo π udává poměr obvodu kružnice k jejímu průměru. Z toho mimo jiné vyplývá, že určení jeho hodnoty závisí na tom, jak přesně se nám podaří změřit obvod kružnice.

Archimedes si uvědomoval, že je daleko jednodušší změřit délku úsečky než křivky, a tak si problém zjednodušil. Místo toho, aby se pokoušel složitě měřit obvod kružnice, narýsoval dva mnohoúhelníky, mezi které kružnici takzvaně „uvěznil“. Jeden mnohoúhelník byl do kružnice vepsaný a druhý kružnici obsahoval.


Archimedovi bylo jasné, že obvod kružnice bude vždy menší než obvod opsaného mnohoúhelníku a současně větší než obvod mnohoúhelníku vepsaného. Když obvody obou mnohoúhelníků, jež kružnici z každé strany svíraly, změřil, dostal tím horní a dolní odhad pro obvod kružnice.

Možná že vám to dnes nepřipadá jako převratná myšlenka, jenomže síla Archimedova objevu spočívá především v tom, že je možné oba odhady zjemnit. Na animaci vidíme, že čím větší počet stran bude mnohoúhelník mít, tím přesnější odhady pro hodnotu π dostaneme.


Takto se Archimedes vyrovnal s možností prakticky libovolně zlepšovat odhady π shora a zdola. Nakonec svou metodu vydržel opakovat tak dlouho, až se mu podařilo uvěznit kružnici mezi dva 96úhelníky, jejichž obvody spočítal. To byl vskutku husarský kousek, zejména vezmeme-li v úvahu, že Archimedes neměl k dispozici soudobou algebraickou symboliku a veškeré výpočty prováděl ručně. Jeho heroický výkon stál však za to, protože díky němu zjistil, že π leží mezi hodnotami

a


Tento výpočet zůstal po mnoho set let ideově nepřekonán. Až v 5. století našeho letopočtu čínský matematik Cu Čchung-č´ posunul Archimedovu metodu o další krůček vpřed, když pomocí dvou 1228úhelníků dokázal určit, že se hodnota π nachází mezi čísly 3,141 592 6 a 3,141 592 7. Vzhledem k náročnosti výpočtu šlo však přidávání desetinných míst velmi pomalu, a tak se až do 2. tisíciletí nikomu nepodařilo číslo π určit na více než deset desetinných míst.

Velký skok ve vyčíslování hodnoty udělal matematik Ludolph van Ceulen na přelomu 16. a 17. století, který se s výpočtem dostal až na 35 desetinných míst. Po jeho smrti v roce 1610 mu byl na náhrobek vytesán nápis, který hlásal, že π je více než 3,141 592 653 5­89 793 238 462 643 383 2­79 502 88 a méně než 3,141 592 653 5­89 793 238 462 643 383 2­79 502 89.

Je vidět, že počítání π je tvrdá dřina. A jelikož je počet číslic za desetinnou čárkou nekonečný, mohli bychom se jeho výpočtem bavit navěky. Technický vývoj postupem času způsobil, že pero a papír nahradily elektronické kalkulační stroje. Výpočty, které trvaly několik let, byly najednou hotové za několik sekund. Na konci 20. století se konečně podařilo pokořit hranici jedné miliardy číslic. To ovšem vůbec není důvod k tomu, aby vědci usnuli na vavřínech a nehledali další a další cifry. Autorem zatím posledního výpočtu je Alexandr Yee, kterému se v říjnu 2014 podařilo určit π s přesností na 13 300 miliard desetinných míst.


Mohlo by vás zajímat:

Co ještě nevíme o čísle π
Opojné vlastnosti čísla π

Další obrázky
comments powered by Disqus

Matfyz.cz

Univerzita Karlova
Matematicko-fyzikální fakulta
Ke Karlovu 3
121 16  Praha 2
IČ: 00216208
DIČ: CZ00216208
web fakulty
studuj na Matfyzu
e-shop