Pozor! Používáte zastaralý prohlížeč, stránka se nemusí zobrazovat správně. Aktualizujte jej a zlepšete tak svůj uživatelský zážitek.

Matfyz.cz

Co ještě nevíme o čísle π

Archimedes ze Syrakus byl první, kdo se systematicky zabýval číslem π. Spočítal, že jeho hodnota leží někde mezi čísly 3,141 a 3,143

Číslo π se kolem lidstva točí po tisíciletí. Jeho přibližnou hodnotu 3,14 znali lidé už ve starověku. A nejen to. Díky Archimedovi znali také způsob, jak spočítat jeho další cifry.

Je až neskutečné, že s Archimedovou metodou, která vznikla 250 let před naším letopočtem, si matematici vystačili ještě následujících osmnáct století. Ideové osvěžení vnesli do problému až geniální matematici novověku. V poslední době se s číslem π trápí počítače.

Ač s pomocí Archimedovy metody zvládli matematici spočítat π s přesností téměř na 40 desetinných míst, stále si kladli otázku, zda neexistuje efektivnější způsob výpočtu. Definitivní odpověď se však dostavila až s objevením kalkulu v polovině 17. století.

Jeden z prvních vzorců pro π, který z těchto nových metod vzešel, byl součin:


který odvodil John Wallis. Uvedené tři tečky ve vzorci naznačují, že se jedná o takzvaný nekonečný součin, tedy součin, který obsahuje nekonečný počet členů. Čím více členů se do výpočtu zahrne, tím bude výsledek přesnější.

O něco později zveřejnil Gottfried Leibniz slavnou nekonečnou řadu:


Zajímavost této řady tkví v tom, že poukazuje na souvislost π s lichými čísly. Její jednoduchost bere dech, ale k praktickému výpočtu hodnoty π se vůbec nehodí. Sečteme-li například první dvě stovky členů, stále ještě dostaneme o dost horší aproximaci π, než ke které dospěl před dvěma tisíci lety Archimedes.

Další zajímavou nekonečnou řadou, ve které se π objevuje, je:


již odvodil matematik Leonhard Euler. Ač je tato řada efektivnější než předchozí, postupným přidáváním dalších a dalších členů se ke skutečné hodnotě π přibližujeme stále dost pomalu. Je tedy jasné, že ne všechna vyjádření π jsou vhodná pro jeho výpočet.

Teprve matematici následujících generací vymysleli řady, které tyto výpočty zvládají rychleji. Na začátku 18. století John Machin vyvinul jednu z nejrychlejších, byť ne tak elegantních řad, která využívá vztahu:


S její pomocí rozdrtil všechny dosavadní rekordy a vypočítal π na sto desetinných míst.

V 60. letech 18. století dokázal Johann Heinrich Lambert to, co všichni už dlouho tušili: π je iracionální číslo, z čehož mimo jiné vyplývá, že jeho desetinný rozvoj nikdy neskončí. Nicméně zájem o výpočet π na mnoho desetinných míst neuhasl.

Machinův vzorec s ještě větším zápalem zužitkovali k výpočtu další badatelé. Mezi ně patřil anglický amatérský matematik William Shanks, jenž hledání dalších desetinných míst π zasvětil většinu života. Jemu se podařilo vypočítat 707 číslic. Později se však zjistilo, že při výpočtu 527. desetinného místa udělal chybu, což ovlivnilo všechny následující číslice. Uvážíme-li ale, že Shanks všechny výpočty prováděl „ručně“, je i tak jeho výkon hodný obdivu.

Příchod počítačů ve 20. století vedl k novým rekordům. Byla přidávána další a další desetinná místa π a v 70. letech byla dokonce překonána hranice milionu číslic. Pokrok však nebyl rychlejší jen kvůli rychlejšímu hardwaru, ale také díky novým algoritmům. Bylo by mylné, kdybychom se domnívali, že se vývoj výpočtu π zastavil. Naopak, nejnovější algoritmy výpočtu využívají poznatků z matematické analýzy či teorie pravděpodobnosti.

Ač se často uvádí, že znalost π s přesností na 40 desetinných míst je naprosto dostačující i pro astronomické výpočty, jeho neustálé zpřesňování není zcela samoúčelné. V dnešní době se algoritmů pro výpočet hodnoty π na mnoho desetinných míst využívá k testování integrity softwaru, hardwaru a podobně. Chyba v desetinném rozvoji totiž pomáhá odhalit chybu počítače.


Mohlo by vás zajímat:

Opojné vlastnosti čísla π

Další obrázky
comments powered by Disqus

Matfyz.cz

Univerzita Karlova
Matematicko-fyzikální fakulta
Ke Karlovu 3
121 16  Praha 2
IČ: 00216208
DIČ: CZ00216208
web fakulty
studuj na Matfyzu
e-shop