Na závěr pátého dílu ankety padla otázka, jak je to vlastně s matematikou – je objevována, nebo tvořena? Na otázku Mgr. Hany Krulišové se snaží najít odpověď doc. Jiří Spurný.
Matematici matematiku objevují, anebo tvoří?
Otázka uvedená v nadpisu je zřejmě velmi obtížná už z toho prostého důvodu, že bez bližšího vymezení příslušných pojmů se při hledání odpovědi neobejdeme. A smysluplně naznačit, co je matematika či co znamenají pojmy „objevovat“ a „tvořit“, je úkol věru nelehký.
Podívejme se nejprve na rozdíl mezi objevováním a tvořením. Zjevně tato distinkce závisí na tom, jakým způsobem chápeme svět a status bytí entit v něm obsažených. Přijmeme-li například tezi, že svět je pouze odrazem boží mysli, tj. že vše (i potenciálně) existující již v tomto smyslu je, člověk pak vše pouze objevuje. Tento úhel pohledu však v řadě případů přináší neuspokojivý popis vztahu mezi člověkem a světem; asi málokdo by prohlásil o Katedrále svatého Víta, že byla objevena. V kostce lze snad říci, že objevujeme ty věci, kterým přiznáváme existenci na člověku nezávislou (například planety sluneční soustavy), zatímco objekty, jejichž bytí nezávislé na člověku je přinejmenším silně diskutabilní, tvoříme (například Novosvětskou symfonii).
Zkusme nyní vymezit matematiku, a to nejprve pomocí popisu matematické praxe. K provozování matematiky potřebujeme nejprve přirozený jazyk, pomocí kterého základní mantinely matematiky definujeme. V rámci přirozeného jazyka tedy konstruujeme jazyk matematiky, tj. výrokovou a predikátovou logiku, pomocí které technizujeme pojem pravdy a důkazu. Při konstrukci formulí a odvozování jejich základních vlastností se přitom neobejdeme bez „přirozených“ přirozených čísel, tj. bez nějakého intuitivního uchopení přirozených čísel a principu indukce. Stejně tak při konstrukci matematického jazyka používáme logické principy, které považujeme za přirozeně pravdivé (důkaz rozborem případů, zákon sporu apod.). Teprve potom pomocí matematického jazyka postulujeme axiomy teorie množin a konstruujeme „matematická“ přirozená a reálná čísla. Ve světě takto vytvořené matematiky pak pracujeme, přičemž se pokoušíme vydobyté poznatky o zkonstruovaném světě uvést do vztahu s přirozeným světem (tj. aplikovat je).
Z výše uvedeného popisu matematické praxe je vidět, že v rámci přirozeného jazyka základní pravidla matematiky tvoříme, tj. syntaxi a sémantiku jazyka matematiky volíme stejně jako matematické axiomy. Tímto procesem tvoříme umělý svět „technické matematiky“. Nicméně po zvolení základních parametrů lze říci, že v takto stvořeném světě již matematické pravdy v jistém smyslu objevujeme: to, že spojitá reálná funkce na kompaktu je omezená, je asi spíše objev, i když objev vyplývající z pravidel, která jsme postulovali. Ale i zde je rozdíl mezi objevem a tvorbou dosti rozmazaný, neboť například Lebesgueův integrál formálně nejprve zkonstruujeme (tedy stvoříme) a až poté objevujeme jeho vlastnosti. Při bližší analýze se však věc komplikuje; ve skutečnosti si nejprve zhruba určíme, jaké vlastnosti by měl hledaný integrál mít, a teprve potom se jej pokusíme zkonstruovat. Jako by stvořený matematický svět v sobě obsahoval objekty formálně neexistující, jejichž možné bytí však zpozorujeme a k existenci posléze konstrukcí přivedeme. Tento úhel pohledu by odpovídal náhledu, že formulováním jazyka, základních objektů matematiky a vztahů mezi nimi jsme jedním tvůrčím aktem stvořili svět, v rámci kterého již nyní vytvořené entity a vztahy mezi nimi objevujeme.
Ani v rámci technické matematiky tak není jednoduché rozlišit mezi objevem a tvořením. Svět přirozené matematiky je ještě řádově složitější. Jak bylo řečeno výše, bez přirozených čísel a základních logických principů se při konstrukci technické matematiky neobejdeme. Na jednu stranu jsou přirozená čísla, na rozdíl například od stromů, ve světě obtížně k nalezení, a mají tedy v tomto smyslu slabší typ bytí než zmiňované stromy, na stranu druhou si zřejmě dovedeme představit vesmír bez života, a tedy i bez stromů, kde nicméně bude naše sluneční soustava stále obsahovat osm planet. Dle druhé úvahy jsou tedy čísla nějak „skutečnější“ než stromy. Zkrátka a dobře, typ bytí čísel zásadním způsobem závisí na pozorovací mřížce, kterou při manipulaci se světem zvolíme. Považujeme-li svět pouze za odraz světa idejí, jsou čísla základní entitou a my je objevujeme. Přijmeme-li tezi, že ideje ze světa pomocí abstrakce získáváme, jsou čísla spíše užitečným nástrojem k popisu světa a my je tak konstruujeme.
Podobně je tomu se základními logickými principy. Zdali jsou to námi pozorované objektivní pravdy, anebo lidské konstrukty sloužící k uchopování světa, je tuze nesnadné rozhodnout.
Když se přikloníme k názoru, že matematika je lidský konstrukt – nástroj stvořený k zacházení se světem, vynoří se otázka, jak to, že je tento nástroj tak úžasně účinný. Kódování přírody pomocí matematiky vidíme prakticky všude a přístroje konstruované na základě matematiky fungují s účinností až zázračnou. Tato fantastická funkčnost při aplikaci technické, zkonstruované matematiky v přirozeném světě ukazuje směrem k jistému druhu existence přirozených matematických entit, které jsou na člověku nezávislé. Z tohoto úhlu pohledu tedy lidé za pomoci zkonstruované technické matematiky přirozené matematické objekty objevují, přičemž konstruovaná matematika je mřížka, kterou se snažíme co nejvíce zjemnit a pečlivým přikládáním ke světu přirozené matematické objekty zpozorovat. Při tomto náhledu by otázka nejednoznačnosti technických matematických světů, totiž fakt, že technická matematika závisí na volbě axiomů, nebyla tak palčivá, neboť pak naše tvorba technické matematiky nepopírá existenci reálné, přirozené matematiky. Na stranu druhou jsme si tímto manévrem nijak zásadně nepomohli, jelikož technická matematika je pak stejně naším jediným přístupem k eventuální matematice přirozené, takže jiná analýza způsobu bytí této přirozené matematiky (pokud existuje) je nám nedostupná.
Osobně se domnívám, že pojmy objevu a tvorby jsou při uchopování takřka jakéhokoliv výseku světa, a tedy i matematiky, extrémně užitečné, takže zbavovat se jednoho na úkor druhého by byla chyba. Sám jazyk nás při četbě matematických textů upozorňuje na tento dvojí pohled: posloupnost induktivně konstruujeme, tedy tvoříme, supremum množiny existuje a my jej hledáme.
K samotnému provozování matematiky odpověď na titulní otázku znát zřejmě nepotřebujeme. Jsem však přesvědčen, že eventuální zájemce o odpověď se stejně nakonec neobejde bez aktu volby, tedy bez toho, aby se sám rozhodl, jak vidí svět, sebe sama a svůj vztah ke světu.
Vzhledem k tomu, že tento text by měl být dle zadání „svižný, osobní a upřímný“, měl bych asi zformulovat svůj vlastní pohled na matematiku. Není nijak hluboký, není asi v souladu s primární strukturou vesmíru a ani není moc následováníhodný. Za jeden z klíčových aspektů matematiky totiž považuji ten fakt, že je to dosti pohodlná, vcelku legální a občas i velmi zábavná metoda, jak si pomocí intelektuálních kratochvílí obstarat živobytí. Navíc člověk nemusí zvedat těžké předměty a do kanceláře většinou neprší. Zkrátka a dobře, Keith Devlin to v knize Problémy pro třetí tisíciletí zformuloval velmi trefně: „Matematik je jediným druhem vědce, který může oprávněně prohlásit: Lehnu si na gauč, zavřu oči a pracuji.“
doc. RNDr. Jiří Spurný, Ph.D.
Katedra matematické analýzy, Matematicko-fyzikální fakulta, Univerzita Karlova v Praze
Otázka na prof. Bohdana Maslowskiho: Co je to pravděpodobnost v přirozeném světě, co je to pravděpodobnost ve světě matematiky a jak spolu souvisejí? > Odpověď
Další díly ankety:
Mezi
námi: Co pohání kontinenty na Zemi? A čím je Venuše jiná?
Mezi
námi: Jak pozná teoretický fyzik, zda výsledky jeho bádání jsou
správné?
Mezi
námi: V čem spočívá vědecká excelence MFF UK v matematice?
Mezi
námi: Z čeho pramení výborná atmosféra ve vašem týmu doktorandů,
postdoktorandů a mladých kolegů?
Mezi
námi: Existuje podle Vašeho názoru období (nebo více období) v naší
historii, které byste označil jako „zlatá doba české matematiky“ a proč?
Mezi
námi: Co je to pravděpodobnost v přirozeném světě, co je to
pravděpodobnost ve světě matematiky a jak spolu souvisejí?
Mezi
námi: Existuje něco jako buňky na matematiku?
Mezi
námi: Vysoká škola versus Akademie věd – které prostředí je
pěstování vědy příznivěji nakloněno?
Mezi
námi: Jsou matematika a hudba dvě strany jedné mince?
Mezi
námi: Kolik kilogramů Matfyzu létá ve vesmíru?
Mezi
námi: Kdo je pro mě matfyzák?